EL TEOREMA DEL PUNTO FIJO Y APLICACIONES

Sea (X,d) un espacio métrico completo, es decir toda sucesión de Cauchy en X es convergente. Una aplicación T:X → X es una contracción , si existe una constante real λ con 0 <λ <1, tal que d(T(x),T(y))≤λd(x,y), ∀ x,y ∈X. Es claro que toda aplicación contracción es una aplicación continua.

El siguiente resultados es de suma importancia para el análisis matemático::

Teorema

(del punto fijo de Banach). Sea (X,d) un espacio métrico completo y T:X → X un contracción, entonces T tiene un punto fijo único en X.

Demostración. Sea x ∈X. un punto cualquiera del espacio métrico completo, y se define x₀=x, x_n+1=T(x_n), ∀ n≥0.

Observemos que d( x_n+1,x_n)=d(T(x_n),T(x_n−1))≤λd(x_n,x_n−1).

En general d( x_n+1,x_n)≤λⁿd(T(x),x), ∀ n≥1 . Por lo tanto

d(x_n+k,x_n)≤d(x_n+k,x_n+k−1)+d(x_n+k−1,x_n+k−2)+....+d(x_n+1,x_n)≤

(λ^n+k−1+λ^n+k−2+...+λⁿ)d(T(x),x))≤ (λⁿ/(1−λ))d(T(x),x)).

Se deduce que la sucesión x_n es de Cauchy y por ser X completo, existe z∈X con x_n →z. Como T(x_n)=x_n−1→T(z)=z, prueba la existencia de un punto fijo.

Si hubiera otro punto y∈X con T(y)=y, con y distinto de x, entonces d(T(y),T(x))=d(x,y)≤λd(x,y), luego 1≤λ, lo que es contradictorio. Esto prueba la unicidad del punto límite.

Vamos a estudiar una interesante aplicación a los operadores integrales de Fredholm.


Consideremos un intervalo cerrado no trivial en la recta real J=[ a,b] y consideremos el espacio métrico X=C([a,b],R)={ x:[a,b]→R / x es una función continua}. Recuerde que d(x,y)=máx{|x( t)−y(t)|: t∈[a,b]} es una métrica completa en el espacio X. Sea ahora k:[a,b]×[a,b]→R una función continua . Si fijamos v:[a,b]→R una función continua , definamos T:X → X por :

T(x)(t)=v(t)+μ∫_a^bk(t,τ)x(τ))dτ

Hallemos condiciones para que la aplicación anterior sea realmente una contracción. Llamemos c=máx{|k(t,τ)|: (t,τ)∈[a,b]×[a,b] }. Tenemos:

|T(x)(t)−T(y)(t)|=|v(t)+μ∫_a^bk(t,τ)x(τ))dτ −(v(t)+μ∫_a^bk(t,τ)y(τ))dτ) |=

|μ||∫_a^bk(t,τ)(x(τ)−y(t))dτ| ≤c|μ|máx{|x( t)−y(t)|∫_a^bdτ=(b−a)c|μ|d(x,y).

Se deduce que d(T(x),T(y)) ≤(b−a)c|μ|d(x,y), la que es una contracción, si y sólo si, (b−a)c|μ|<1. Es decir |μ|<1/((b−a)c)

Con la condición |μ|<1/((b−a)c), aplicando el teorema del punto fijo de Banach, tenemos que existe una única función continua x: [a,b]→R, tal que


x(t)=v(t)+μ∫_a^bk(t,τ)x(τ))dτ


Se dice que x(t)−μ∫_a^bk(t,τ)x(τ))dτ=v(t), es una ecuación integral de Fredholm tipo 2. A la ecuación x(t)=∫_a^bk(t,τ)x(τ))dτ se le llama una ecuación integral de Fredholm de tipo uno.

(Series de Neumann)

Sea la sucesión

x_n+1(t)=v(t)+∫_a^bk(t,τ)x_n(τ))dτ , n≥0.


Consideremos el operador S(x)(t)=∫_a^bk(t,τ)x(τ))dτ.


Si z_n=x_n −x_n−1, n≥1, entonces μS(z_n)=z_n+1.


En efecto μS(z_n)(t)=μS(x_n(t)−x_n−1(t))=μ∫_a^bk(t,τ)x_n(τ))dτ−μ∫_a^bk(t,τ)x_n−1(τ))dτ =

v(t)+μ∫_a^bk(t,τ)x_n(τ))dτ−(v(t)+μ∫_a^bk(t,τ)x_n−1(τ))dτ)=x_n+1−x_n=z_n+1

Como μS(z_n)=z_n+1, luego μS(μS(z_n−1))=μ²S²(z_n−1). Se deduce que z_n+1=μⁿSⁿ(z₁).

Por otro lado, si partimos de x₀(t)=v(t), entonces x₁(t)=v(t)+μ∫_a^bk(t,τ)v(τ))dτ, entonces z₁=x₁−x₀=x₁−v(t)=μS(v(t)), Es decir z_n+1=μⁿ⁺¹Sⁿ⁺¹(v). Finalmente de z_n+x_n−1=x_n, se puede deducir por inducción la fórmula

x_n=v+z₁+z₂+...+z_n=v+μS(v)+...+μⁿSⁿ(v).


Pasando al límite, la serie de Neumann v+μS(v)+...+μⁿSⁿ(v)+....=x es la solución de la ecuación integral de segundo tipo de Fredholm.


Estudiemos un caso concreto de una serie de Neumann:

Sea la ecuación integral x(t)=1+μ∫₀¹x(τ))dτ. Hallemos una sucesión el método de serie de Neumann. Aquí el núcleo de la integral k(t,τ)=1, ∀ (t,τ)∈[ 0,1]× [ 0,1], v(t)=1, ∀ t∈[ 0,1].


Aplicando el método anterior,

x₀(t)=v(t)=1, μS(v)(t)=∫₀¹v(τ))dτ=μ∫₀¹dτ=μ,...,VⁿSⁿ(v)=μⁿ

Como necesitamos que la ecuación integral x(t)=1+μ∫₀¹x(τ))dτ tenga solución, entonces |μ|<1/((1−0)c) y como c=máx{|k(t,τ)|=1: (t,τ)∈[a,b]×[ a,b] }=1, luego |μ|<1. Se deduce que la solución única de la ecuación integral es la serie de Neumann

x=1+μ+...+μⁿ+...=1/(1−μ)

NOTA Es importante referir que ese trabajo es la resolución de dos ejercicios del capítulo 5, de la sección 5.4 del libro Introductory Functional Analysis with applications de Erwin Kreyszig. John Wiley. 1978.